Question

如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．

（1）要使長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？

（2）折合而成的長方體盒子的側(cè)面積是否有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；

（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）1cm；（2）邊長為2.25cm時，側(cè)面積最大為40.5cm²；（3）邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm²

【解析】

試題分析：（1）設(shè)正方形的邊長為cm，根據(jù)長方形的面積公式即可列方程求解；

（2）設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，根據(jù)長方體的側(cè)面積公式即可得到與的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（3）設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，根據(jù)長方體的側(cè)面積公式即可得到與的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）設(shè)正方形的邊長為cm，則

．   

即．

解得（不合題意，舍去），．

剪去的正方形的邊長為1cm．

（2）有側(cè)面積最大的情況．

設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：．

即．（）

改寫為．

當(dāng)時，．

即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm²． 

（3）有側(cè)面積最大的情況．

設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm²．

若按如圖所示的方法剪折，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：．

即．

當(dāng)時，．  

若按如圖所示的方法剪折，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：．

即．

當(dāng)時，．

比較以上兩種剪折方法可得，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm²．

考點：二次函數(shù)綜合題

點評：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到量與量的關(guān)系，正確列出二次函數(shù)關(guān)系式，同時熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的方法.