Question

如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于C點，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D（5，2），連結BC、AD.

（1）求C點的坐標及拋物線的解析式；

（2）將△BCH繞點B按順時針旋轉90º后再沿軸對折得到△BEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；

（3）設過點E的直線交AB邊于點P，交CD邊于點Q. 問是否存在點P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.                                                                                     

       

Answer 1

解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，  又D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 . …1 分

     ∴    解得

∴拋物線的解析式為： …… 4分

（2）點E落在拋物線上. 理由如下：

由y = 0，得.

解得x₁=1，x₂=4. ∴A（4，0），B（1，0）.   …… 5分      ∴OA=4，OB=1.

由矩形性質知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋轉、軸對稱性質知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，  ∴點E的坐標為（3，－1）.… 7分

把x=3代入，得， ∴點E在拋物線上. … 8分

（3）存在點P（a，0），延長EF交CD于點G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

       S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，        

下面分兩種情形： ①當S₁∶S₂ =1∶3時，，

此時點P在點F（3，0）的左側，則PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S₁=2，得，解得；  …… 10分

 ②當S₁∶S₂=3∶1時，, 此時點P在點F（3，0）的右側，則PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，由S₁= 6，

得，解得.

綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）…… 12分