Question

如圖，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，點(diǎn)D位為斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直角邊AB、AC上運(yùn)動，且保持BE=AF，連接DE、DF、EF，在此運(yùn)動變化的過程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形AEDF不可能為正方形
③四邊形AEDF的面積保持不變；
④EF長度的最小值為4
⑤△AEF面積的最大值為8．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：①連結(jié)AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°．就可以得出△BDE≌△ADF，就可以得出∠1=∠2，DE=DF，得出∠EDF=90°而得出結(jié)論；
②當(dāng)E、F是AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEDF是正方形；
③由△BDE≌△ADF可以得出四邊形AEDF的面積等于△ABD的面積而得出結(jié)論；
④設(shè)BE=AF=x，根據(jù)勾股定理就可以得出EF=

x2+(8-x)2

=

2(x-4)2+32

，得出EF的最小值為4

2

，進(jìn)而得出結(jié)論；
⑤設(shè)BE=AF=x，△AEF面積的S，由三角形的面積公式得S=

(8-x)x

2

=-

1

2

（x-4）²+8，故可以得出結(jié)論．

解答：解：①連結(jié)AD．
∵∠A=90°，AB=AC=8，
∴∠B=∠C=45°．
∵點(diǎn)D位為斜邊BC上的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°，BD=CD=AD=

1

2

BC．
在△BDE和△ADF中，

BD=AD ∠B=∠DAF BE=AF

，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，DE=DF．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，故①正確；
②當(dāng)E、F是AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，
DE=AE=AF=DF=

1

2

AB=

1

2

AC．
∵∠EDF=90°，
∴四邊形AEDF是正方形，故②錯(cuò)誤；
③∵四邊形AEDF的面積=S_△AED+S_△ADF，
∴四邊形AEDF的面積=S_△AED+S_△BED．
∴四邊形AEDF的面積=S_△ABD=

8×8

2

=32，
∴四邊形AEDF的面積保持不變，故③正確；
④設(shè)BE=AF=x，由勾股定理，得
EF=

x2+(8-x)2

=

2(x-4)2+32

，
當(dāng)x=4時(shí)，EF的最小值為4

2

≠4，故④錯(cuò)誤；
⑤設(shè)BE=AF=x，△AEF面積的S，由題意，得
S=

(8-x)x

2

=-

1

2

（x-4）²+8，
∵a=-

1

2

＜0，
∴拋物線的開口向下，有最大值，
∴x=4時(shí)，S_最大=8，故⑤正確．
∴正確的共有3個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．