Question

點(diǎn)P是△ABC內(nèi)（不在邊上）一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，如果△PAB、△PBC、△PAC中存在一個(gè)三角形與原△ABC相似，那么我們把點(diǎn)P叫做△ABC的內(nèi)相似點(diǎn)．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，若點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)相似點(diǎn)，則cos∠PAB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：先找到Rt△ABC的內(nèi)相似點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的定計(jì)算cos∠PAB即可

解答：解：∵AC=3，BC=4，
∴∠CAB＞∠CBA，
故可在∠CAB內(nèi)作∠CAP=∠CBA，
又∵點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)相似點(diǎn)，
∴過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AP，并延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)D，
則△APC∽△BCA
∴點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)相似點(diǎn)，
∴∠ACP=∠CAB，
∴DA=DC，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，則可求得AB=5，
由相似可知

AP

BC

=

AC

AB

，
即

AP

4

=

3

5

，解得AP=

12

5

，
在Rt△APC中，AC=3，AP=

12

5

，由勾股定理可求得PC=

9

5

，
設(shè)AD=x，則PD=x-

9

5

，且AP=

12

5

，由勾股定理可得AD²=AP²+PD²，
即x²=（

12

5

）²+（x-

9

5

）²，解得x=

5

2

，即AD=

5

2

，
∴cos∠PAB=

PA

AD

=

12 5

5 2

=

24

25

，
故答案為：

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，利用條件先確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．