Question

在平面直角坐標系xOy（如圖）中，已知：點A（3，0）、B（-2，5）、C（0，-3）．
（1）求經過點A、B、C的拋物線的表達式；
（2）若點D是（1）中求出的拋物線的頂點，求tan∠CAD的值．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把點A（3，0）、B（-2，5）、C（0，-3）代入得，解得，
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以D點坐標為（1，-4），
∵AD²=（3-1）²+（0+4）²=20，
CD²=（-3+4）²+（0-1）²=2，
AC²=（3-0）²+（0+3）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ACD為直角三角形，
∴tan∠CAD===．
分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，再把三個已知點的坐標代入得到關于a、b、c的方程組，解方程組即可得到二次函數的解析式；
（2）把（1）中的解析式配方得到頂點式y=（x-1）²-4，則D點坐標為（1，-4），再利用兩點間的距離公式分別計算出AC、CD、AD，然后根據勾股定理的逆定理判斷△ACD為直角三角形，再利用正切的定義求解．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了勾股定理及其逆定理．