Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系xoy中，正方形OABC的邊長為2厘米，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B和點(diǎn)D（4，

14

3

）
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由B點(diǎn)開始沿BC邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．若P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，S=PQ²（厘米²）寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S最小；
（3）當(dāng)s取最小值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上求出點(diǎn)M，使得M到D，A距離之差最大？寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意確定A、B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)值，因?yàn)閽佄锞�y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B和點(diǎn) D（4，

14

3

）．將A、B、D點(diǎn)的坐標(biāo)值代入拋物線聯(lián)立解得a、b、c的值．
（2）首先根據(jù)題意確定P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得PQ²用t表示的代數(shù)式，并得到t的取值范圍．將PQ²的利用配方法求得PQ²取最小值時(shí)的t的取值．
（3）由（2）中得到t的取值，確定出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)值．分別就①若以BQ為對(duì)角線，②若PB為對(duì)角線兩種情況．
根據(jù)平行四邊形的P、Q、B三點(diǎn)求得R點(diǎn)的坐標(biāo)值．并驗(yàn)證是否在拋物線上．
（4）首先根據(jù)題意確定對(duì)稱軸為x=1、及A、D點(diǎn)的坐標(biāo)值．因?yàn)锳、D兩點(diǎn)位于對(duì)稱軸x=1的兩邊，故作D點(diǎn)關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接AD′，直線AD′與直線x=1的交點(diǎn)即為所求之．

解答：解：（1）由題意得A（0，-2）、B（2，-2）、C（2，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B和點(diǎn) D（4，

14

3

），
∴

-2=c -2=4a+2b+c 14 3 =16a+4b+c

，
解得c=-2、a=

5

6

、b=-

5

3

，
∴拋物線的解析式為y=

5

6

x2-

5

3

x-2．

（2）由題意知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2t，-2）、Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，t-2），
則PQ²=（2t-2）²+（-2-t+2）²=5t²-8t+4=5（t-

4

5

）²+

4

5

，
∴S=PQ²=5t²-8t+4（0≤t≤1），
當(dāng)t=

4

5

時(shí)，S最�。�

（3）由（1）（2）知，P（

8

5

，-2）、Q（2，-

6

5

）、B（2，-2），
①若以BQ為對(duì)角線，
∵平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)平分兩對(duì)角線．
∴R點(diǎn)的坐標(biāo)為(

12

5

，-

6

5

)，
t=

4

5

時(shí)，R(

12

5

，-

6

5

)，
在y=

5

6

x2-

5

3

x-2中，
當(dāng)x=

12

5

時(shí)，y=-

6

5

．
∴R在拋物線上．
②若PB為對(duì)角線，當(dāng)t=

4

5

時(shí)，R(

8

5

，-

14

5

)，
在y=

5

6

x2-

5

3

x-2中，當(dāng)x=

8

5

時(shí)，
y=-

38

15

≠-

14

5

，
∴R(

8

5

，-

14

5

)不在拋物線上，
綜上可知，拋物線上存在使以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（4）由（1）知，該拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∵D、A點(diǎn)位于對(duì)稱軸x=1的兩側(cè)，
故作D點(diǎn)關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)D′（-2，

14

3

）
則直線AD′的解析式為y=

14 3 +2

-2-0

x-2，
即y=-

10

3

x-2
當(dāng)x=1時(shí)，y=-

16

3

∴M（1，-

16

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、動(dòng)點(diǎn)問題、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．