Question

1．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（4，0），與y軸交于C（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）H是C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBH與△AOC相似時(shí)，求符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)（求出兩點(diǎn)即可）；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，CD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M是線段CD上的一動(dòng)點(diǎn)，作直線MN與線段AC交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)E，且∠BME=∠BDC，當(dāng)CN的值最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），然后將（0，-2）代入解析式即可求出a的值；
（2）當(dāng)△PBH與△AOC相似時(shí)，△PBH是直角三角形，由$\frac{OH}{OA}=\frac{OB}{OH}$可知∠AHB=90°，所以求出直線AH的解析式后，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式后即可求出P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M的坐標(biāo)為（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等即可得出CN與m的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m=$\frac{3}{2}$時(shí)，CN有最大值，然后再證明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-1，0），B（4，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4），
把（0，-2）代入y=a（x+1）（x-4），
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；

（2）當(dāng)△PBH與△AOC相似時(shí)，
∴△AOC是直角三角形，
∴△PBH也是直角三角形，
由題意知：H（0，2），
∴OH=2，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AH=$\sqrt{5}$，BH=2$\sqrt{5}$，
∴AH²+BH²=AB²，
∴∠AHB=90°，
且∠ACO=∠AHO=∠HBA，
∴△AOC∽△AHB，
∴A（-1，0）符合要求，
取AB中點(diǎn)G，則G（$\frac{3}{2}$，0），
連接HG并延長(zhǎng)至F使GF=HG，連接AF，
則四邊形AFBH為矩形，
∴∠HBD=90°，∠BHG=∠GBH=∠AHO=∠ACO，
且F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2），
將F（3，-2）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2得，F(xiàn)在拋物線上，
∴點(diǎn)（3，-2）符合要求，
所以符合要求的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）和（3，-2）．

（3）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0），M的坐標(biāo)為（m，-2），
∵∠BME=∠BDC，
∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，
∴∠EMC=∠MBD，
∵CD∥x軸，
∴D的縱坐標(biāo)為-2，
令y=-2代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∴x=0或x=3，
∴D（3，-2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理可求得：BD=$\sqrt{5}$，
∵M(jìn)（m，-2），
∴MD=3-m，CM=m（0≤m≤3）
∴由拋物線的對(duì)稱性可知：∠NCM=∠BDC，
∴△NCM∽△MDB，
∴$\frac{CN}{MD}=\frac{CM}{BD}$，
∴$\frac{CN}{3-m}=\frac{m}{\sqrt{5}}$，
∴CN=$-\frac{\sqrt{5}}{5}（{m}^{2}-3m）$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{5}}{20}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，CN可取得最大值，
∴此時(shí)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-2），
∴MF=2，BF=$\frac{5}{2}$，MD=$\frac{3}{2}$
∴由勾股定理可求得：MB=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∵E（n，0），
∴EB=4-n，
∵CD∥x軸，
∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，
∴△EMB∽△BDM，
∴$\frac{MB}{EB}=\frac{MD}{MB}$，
∴MB²=MD•EB，
∴$\frac{41}{4}$=$\frac{3}{2}$×（4-n），
∴n=-$\frac{17}{6}$，
∴E的坐標(biāo)為（-$\frac{17}{6}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，聯(lián)立解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形判定與性質(zhì)，二次函數(shù)最值等知識(shí)，內(nèi)容較為綜合，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)去解決問題．