Question

【題目】用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對角互補，則稱該直線為三角形第三條邊上的逆平行線．如圖1，DE為△ABC的截線，截得四邊形BCED，若∠BDE+∠C=180°，則稱DE為△ABC邊BC的逆平行線．如圖2，已知△ABC中，AB=AC，過邊AB上的點D作DE∥BC交AC于點E，過點E作邊AB的逆平行線EF，交邊BC于點F．

（1）求證：DE是邊BC的逆平行線．

（2）點O是△ABC的外心，連接CO．求證：CO⊥FE．

（3）已知AB=5，BC=6，過點F作邊AC的逆平行線FG，交邊AB于點G．

①試探索AD為何值時，四邊形AGFE的面積最大，并求出最大值；

②在①的條件下，比較AD+BG______AB大小關系．（“＜、＞或=”）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①當AD=，四邊形有最大值，最大值為，②=

【解析】

（1）根據題干條件可證得∠B=∠ACB，則∠BDE+∠B=180°，∠BDE+∠ACB=180°，結論得證；

（2）連接AO，證得∠FEC=∠B，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，∠BAO=∠OAC，證出∠FEC+∠ACB=90°，即CO⊥FE；

（3）①由題意設FC=x，則BF=6-x，證△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四邊形AGFE的面積可表示為S△ABC-S△EFC-S△BFG，利用二次函數的性質可求出最大值；

②由①知點F為BC的中點，連接DF，根據EF為AB邊的逆平行線，可證得DF為AC邊的逆平行線，則G點與D點重合，則AD+BG=AB．

解：（1）證明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵DE∥BC，

∴∠BDE+∠B=180°，∠BDE+∠ACB=180°，

∴DE是邊BC的逆平行線．

（2）證明：如圖，連接AO，

∵EF是邊BA的逆平行線，

∴∠AEF+∠B=180°，

∵∠AEF+∠FEC=180°，

∴∠FEC=∠B，

∵點O是△ABC的外心，

∴OA=OC，OA平分∠BAC，

∴∠OAC=∠OCA，∠BAO=∠OAC，

∵∠BAO+∠B=90°，

∴∠FEC+∠ACB=90°，

∴CO⊥FE.

（3）①設FC=x，BF=6-x，S四邊形AGFE=y，

∵∠FEC=∠B，∠FCE=∠ACB，

∴△FEC∽△ABC．

∴，

∴，

同理可得S△BFG=

∴y=S△ABC-S△EFC-S△BFG=12-=-，

∴當x=3時，有AD=，此時y有最大值，最大值為．

②在①的條件下CF=BF=3，如圖，連接DF，

∵BF=CF，∠B=∠C，BD=CE，

∴△BDF≌△CEF（SAS），

∴∠BDF=∠CEF，∠BFD=∠EFC，

∴∠BFE=∠DFC，∠AEF=∠ADF．

∵∠AEF+∠B=180°，∠A+∠BFE=180°，

∴∠C+∠ADF=180°，∠A+∠DFC=180°．

∴FD為邊AC的逆平行線，

由題意可知D與G點重合，

∴AD+BG=AB，

故答案為：=．