Question

4．“三等分角”是古希臘幾何尺規(guī)作圖當(dāng)中的名題，和化圓為方、倍立方問(wèn)題被并列為古代數(shù)學(xué)的三大難題之一，而如今數(shù)學(xué)上已證實(shí)這個(gè)問(wèn)題無(wú)解，數(shù)學(xué)家普斯借助函數(shù)給出一種“三等分角”的方法．
探究
如圖1，已知：矩形PQRM的頂點(diǎn)P、R都在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，試證明：點(diǎn)Q必在直線OM上；
應(yīng)用
如圖2，將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P，以P為原心，以2OP位半徑作弧交圖象于點(diǎn)R，分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸，y軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)M、點(diǎn)Q，
連接OM，則∠MOB=$\frac{1}{3}∠AOB$，請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明：∠MOB=$\frac{1}{3}∠AOB$．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（a，$\frac{1}{a}$），R（b，$\frac{1}$），則Q（a，$\frac{1}$），M（b，$\frac{1}{a}$），再由tan∠QOH=tan∠MOB即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)PR=2OP，PR=2PS，得出OP=PS，∠PSO=∠POS．再由∠PSO=2∠PMO，∠PMO=∠MOB可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（a，$\frac{1}{a}$），R（b，$\frac{1}$），
∵四邊形PQRM是矩形，
∴Q（a，$\frac{1}$），M（b，$\frac{1}{a}$）．
∵tan∠QOH=$\frac{QH}{OH}$=$\frac{1}{ab}$，tan∠MOB=$\frac{MB}{OB}$=$\frac{1}{ab}$，
∴∠QOH=∠MOB，即點(diǎn)Q在直線OM上；

（2）如圖2，
∵PR=2OP，PR=2PS，
∴OP=PS，
∴∠PSO=∠POS．
∵∠PSO=2∠PMO，∠PMO=∠MOB，
∴∠MOB=$\frac{1}{3}$∠AOB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及矩形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．