Question

26、已知△ABC中，AB=AC，以AB為直線的圓O交BC于D，交AC于E，
（1）如圖①，若AB=6，CD=2，求CE的長(zhǎng)；
（2）如圖②，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，使判斷∠BAC與∠CBE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若②中的邊AB不動(dòng)，邊AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖③，CA的延長(zhǎng)線與圓O相交于E．
請(qǐng)問：∠BAC與∠CBE的關(guān)系是否與（2）中你得出的關(guān)系相同？若相同，請(qǐng)加以證明，若不同，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得BD=CD=2，再根據(jù)割線定理即可求得CE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)（1）中等腰三角形的三線合一，得AD平分∠BAC，結(jié)合圓周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（3）連接AD．根據(jù)等腰三角形的三線合一和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可證明∠BAC=2∠CBE．

解答：解：（1）連接AD．
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
又CD=2，
∴BD=2．
由CE•CA=CD•CB，得
6•CE=2•（2+2），
∴CE=1．

（2）∠BAD與∠CBE的關(guān)系是：∠BAC=2∠CBE．理由如下：
由（1），得AD⊥BC．
又AB=AC，
∴∠1=∠2．
又∠2=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

（3）相同．理由如下：
連接AD．
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵∠CAD是圓內(nèi)接四邊形AEBD的外角，
∴∠2=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．