Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，點C的坐標為（-9，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=2，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，是否存在點P，使以O、E、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得BF、CF，根據(jù)線段的和差，可得B點坐標；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得OG、OG的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式；
（3）分類討論：OE=OP，OE=EP，OP=EP，先由點在直線上，可設出P點坐標，根據(jù)線段的距離相等，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）如圖1：作BF⊥CO，

∵∠BCO=45°，BC=6，
∴CF=BF=3

2

，
∴OF=OC-CF=9-3

2

，
∴B點坐標為（3

2

-9，3

2

）；
（2）如圖2：作DG⊥OC與G．
，
∵DG∥BF，
∴△ODG∽△OBF，
∴

OG

OF

=

DG

BF

=

OD

OB

．∬
∵OD=2BD，
∴

OG

OF

=

DG

BF

=

OD

OB

=

2

3

．
OG=

2

3

（3

2

-9）=2

2

-6，
DG=

2

3

×3

2

=2

2

∴點D坐標為（2

2

-6，2

2

），
∵OE=2，
∴E點坐標為（0，2），
設直線DE解析式為y=kx+b，
代入D，E得：

b=2 (2 2 -6)k+b=2 2

，
解得

k= 1-2 2 7 b=2

．
直線DE解析式為y=

1-2 2

7

x+2；
（3）設P（a，

1-2 2

7

a+2），
①當OE=OP時，即OE²=OP²，2²+（

1-2 2

7

a+2）²=2²=4，化簡，得

1-2 2

7

a+2=0，
解得a=2+4

2

，

1-2 2

7

a+2=0，即P₁（2+4

2

，0）；
②當OE=EP時，OE²=EP²，a²+（

1-2 2

7

a+2-2）²=2²=4，化簡，得

29-2 2

49

a²=2，
解得a=±

7

833

49964+2332 2

，
當a=

7

833

49964+2332 2

時，

1-2 2

7

a+2=

(2-4 2 ) 49964+2332 2

833

，
P₂（

7

833

49964+2332 2

，

(2-4 2 ) 49964+2332 2

833

）
當a=-

7

833

49964+2332 2

時，

1-2 2

7

a+2=

(4 2 -2) 49964+2332 2

833

，
P₃（-

7

833

49964+2332 2

，

(4 2 -2) 49964+2332 2

833

）
③當OP=EP時，即0P²=EP²，a²+（

1-2 2

7

a+2-2）²=a²+（

1-2 2

7

a+2）²，
化簡，得

1-2 2

7

a=0，解得a=0

1-2 2

7

a+2=2，P（0，2）與E點重合，不能與O、P、E為頂點無法形成三角形，P（0，2）（不符合題意的要舍去），
綜上所述：P₁（2+4

2

，0）；P₂（

7

833

49964+2332 2

，

(2-4 2 ) 49964+2332 2

833

）；P₃（-

7

833

49964+2332 2

，

(4 2 -2) 49964+2332 2

833

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的定義，計算量大，需認真計算．