Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AE⊥l交直線l于點(diǎn)E、交⊙O于點(diǎn)F，BD⊥l交直線l于點(diǎn)D．

（1）求證：△AEC∽△CDB；

（2）求證：AE+EF=AB；

（3）若AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當(dāng)t=或t=或t=時(shí)，△BPQ為等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）、根據(jù)直角得出∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACE=90°，根據(jù)AE⊥DE，BD⊥DE得出∠BCD=∠EAC，從而說明三角形相似；（2）、連接BF、OC根據(jù)DE為切線得出OC⊥DE，根據(jù)AE⊥DE，BD⊥DE得到OC∥BD∥AE，根據(jù)O為中點(diǎn)，得出OC為梯形的中位線，得到OC=，根據(jù)AB為直徑得出∠BFE=90°，然后說明BDEF為矩形，得出BD=FE，即AE+EF=AE+BD，得到OC=，從而說明結(jié)論；（3）、首先根據(jù)題意求出AB和BP的長度，根據(jù)BP=BQ，BP=PQ，BQ=PQ三種情況求出t的值.

試題解析：（1）、∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACE=180°-∠ACB=90°

∵AE⊥DE，BD⊥DE ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴∠ACE +∠EAC=90° ∴∠BCD =∠EAC ∴△AEC∽△CDB

（2）、連結(jié)BF、OC ∵DE切⊙O于點(diǎn)C ∴OC⊥DE

又∵AE⊥DE，BD⊥DE ∴OC∥BD∥AE又∵O是AB的中點(diǎn) ∴OC是梯形ABDE的中位線

∴OC=∵AB是⊙O的直徑 ∴∠AFB=90° ∴∠BFE=90°

又∵∠AED=∠BDE=90° ∴四邊形BDEF是矩形

∴BD=FE ∴AE+EF=AE+BD ∴OC=∵OC= ∴AE+EF=AB

（3）、由題意可知：AP=2t，BQ=t，0＜t≤5 ∵∠ACB=90° ,AC="8,BC=6" ∴AB=∴BP=10-2t

當(dāng)BP=BQ時(shí) 10-2t=t t=

②當(dāng)PB=PQ時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G ∵PB=PQ，PG⊥BC

∴BG= = ，∠PGB=90°∴∠ACB=∠PGB =90° 又∵∠PBG=∠ABC ∴△BPG∽△BAC

∴∴

③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H同理可求得：BH= = ，

△QHB∽△ACB ∴∴∴t=

綜上所述，當(dāng)t=或t=或t=時(shí)，△BPQ為等腰三角形.