Question

已知，拋物線y=ax²+bx+c，過A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），M為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+b經過點C、M兩點．且與x軸交于點E．△AEC的面積與△BCM的而積是否相等？如果相等，請給出征明；如果不相等，請說明理由；
（3）點P在此拋物線的對稱軸上，設⊙P的半徑為m．①若⊙P與直線CM相切．并且與x軸有交點，求m的取值范圍；②若⊙P經過A、B兩點，且與直線CM相切于點F，求切點F的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據交點式或待定系數法就可以求二次函數的解析式，
（2）根據公式或配方法可以求出拋物線的頂點坐標，把頂點坐標和C點代入函數y=kx+b就可以求出k，b的值，進而得出三角形面積關系；
（3）①分別利用當點P在第四象限內，當點P在第一象限內利用相似三角形的性質求出即可；
②利用切割線定理得出，EF=2，FG=，EG=，結合①中兩種情況，進而得出答案即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c，過A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴假設函數解析式為：y=a（x+1）（x-3），
將（0，-3）代入得：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（ 2）如圖所示：
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M點的坐標為：（1，-4），
∵直線y=kx+b經過點C、M兩點，
∴，
∴，
∴一次函數解析式為：y=-x-3，
當y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
S_△AEC=AE•CO=2×3=3，
S_△BCM=S_△BEM-S_△BEC=×6×4-×6×3=3，
所以成立；

（3）①設對稱軸與x軸交于點D，點P在拋物線的對稱軸直線x=1上，
先考慮與x軸相切，則點P的位置有兩種情況：
當點P在第四象限內，過點P作PG⊥EM于G．（如圖1）
PG=PD=m．PM=4-m，
EM=4，
△PGM∽△EDM，m=4（-l），
當點P在第一象限內．
過PG⊥EM于G，（如圖2），PG=PD=m，
PM=4+m，
同理△EDM∽△PGM，
m=4（+1），
4（-1）≤m≤4（+1）；
②（如圖3）連接PF，過點F作FG⊥EB，
∵⊙P經過A、B兩點，且與直線CM相切于點F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割線定理）
∴EF=2，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=，EG=，
OG=OE+EG=3+，
連接PF，過點F作FG⊥EB，
∵⊙P經過A、B兩點，且與直線CM相切于點F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割線定理）
∴EF=2，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=，EG=，
OG=OE-EG=3-，
∴F（-3，）或F（-3-，-）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的性質與判定以及切割線定理等知識，此題綜合性較強，利用數形結合以及分類討論思想得出是解題關鍵．