【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.
(1)求證:△AEH≌△CGF;
(2)在點(diǎn)E、F、G、H運(yùn)動(dòng)過程中,判斷直線EG是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn),如果是,請(qǐng)證明你的結(jié)論;如果不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)直線EG經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心(AC、BD的交點(diǎn));理由見解析.
【解析】分析:(1)由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠C=90°,AB=BC=CD=DA,由AE=BF=CG=DH證出AH=CF,由SAS證明△AEH≌△CGF即可求解;
(2)連接AC、EG,交點(diǎn)為O;先證明△AOE≌△COG,得出OA=OC,證出O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),即O為正方形的中心.
詳解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠C=90°,AB=BC=CD=DA,
∵AE=BF=CG=DH,
∴AH=CF,
在△AEH與△CGF中,
AH=CF,∠A=∠C,AE=CG,
∴△AEH≌△CGF(SAS);
(2)直線EG經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心(AC、BD的交點(diǎn));理由如下:
連接AC、EG,交點(diǎn)為O;如圖所示:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠OAE=∠OCG,
在△AOE和△COG中,
∠OAE=∠OCG,∠AOE=∠COG,AE=CG,
∴△AOE≌△COG(AAS),
∴OA=OC,OE=OG,
即O為AC的中點(diǎn),
∵正方形的對(duì)角線互相平分,
∴O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),即O為正方形的中心.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,為中點(diǎn),,給出四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④,其中成立的有( )
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
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【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,頂點(diǎn)在軸上(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),點(diǎn)在上,連接,且.
(1)如圖1,求點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(2)如圖2,點(diǎn)在軸上(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),點(diǎn)在上,連接交于點(diǎn);若,求證:
(3)如圖3,在(2)的條件下,是的角平分線,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,過點(diǎn)作分別交于點(diǎn),若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)在第四象限,點(diǎn)在軸的正半軸上.且,,的長分別是二元一次方程組的解().
(1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn),重合),過點(diǎn)的直線與軸平行,直線交邊或邊于點(diǎn),交邊或邊于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,線段的長度為.已知時(shí),直線恰好過點(diǎn).
①當(dāng)時(shí),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,則AP的長為______.
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【題目】(14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)與y軸的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)分別為B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直線AD∥x軸,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(t,0)過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)0<t≤8時(shí),求△APC面積的最大值;
(3)當(dāng)t>2時(shí),是否存在點(diǎn)P,使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖直線l1的解析式為y=x+1,直線l2的解析式為y=ax+b(a≠0);這兩個(gè)圖象交于y軸上一點(diǎn)C,直線l2與x軸的交點(diǎn)B(2,0)
(1)求a、b的值;
(2)過動(dòng)點(diǎn)Q(n,0)且垂直于x軸的直線與l1、l2分別交于點(diǎn)M、N都位于x軸上方時(shí),求n的取值范圍;
(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向左移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)△PAC為等腰三角形時(shí),直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn),DE與CB的延長線交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC,連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與,重合).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn),求證:;
(2)連接,作,交于點(diǎn).若時(shí),如圖2.
①______;
②求證:為等腰三角形;
(3)連接CD,∠CDE=30°,在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)求出的度數(shù);若不可以,請(qǐng)說明理由.
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