已知△ABC中,∠C是其最小的內角,如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個三角形,其中一個為等腰三角形,另一個為直角三角形,則稱這條直線為△ABC的關于點B的伴侶分割線.例如:如圖1,在Rt△ABC中,∠C=20°,過頂點B的一條直線BD交AC于點D,且∠DBC=20°,顯然直線BD是△ABC的關于點B的伴侶分割線.
(1)如圖2,在△ABC中,∠C=20°,∠ABC=110°.請在圖中畫出△ABC的關于點B的伴侶分割線,并標注角度;
(2)在△ABC中,設∠B的度數為y,最小內角∠C的度數為x.試探索y與x之間滿足怎樣的關系時,△ABC存在關于點B的伴侶分割線.
【考點】作圖—應用與設計作圖.
【分析】(1)首先了解伴侶分割線的定義,然后把角ABC分成90°角和20°角即可;
(2)設BD為△ABC的伴侶分割線,分以下兩種情況.第一種情況:△BDC是等腰三角形,△ABD是直角三角形;第二種情況:△BDC是直角三角形,△ABD是等腰三角形分別進行分析.
【解答】解:(1)如圖所示:
(2)設BD為△ABC的伴侶分割線,分以下兩種情況.
第一種情況:△BDC是等腰三角形,△ABD是直角三角形,
易知∠C和∠DBC必為底角,∴∠DBC=∠C=x.
當∠A=90°時,△ABC存在伴侶分割線,此時y=90°﹣x,
當∠ABD=90°時,△ABC存在伴侶分割線,此時y=90°+x,
當∠ADB=90°時,△ABC存在伴侶分割線,此時x=45°且y>x;
第二種情況:△BDC是直角三角形,△ABD是等腰三角形,
當∠DBC=90°時,若BD=AD,則△ABC存在伴侶分割線,
此時180°﹣x﹣y=y﹣90°,∴y=135°﹣x,
當∠BDC=90°時,若BD=AD,則△ABC存在伴侶分割線,
此時∠A=45°,∴y=135°﹣x.
綜上所述,當y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y>x或y=135°﹣x或y=135°﹣x時△ABC存在伴侶分割線.
【點評】此題主要考查了應用設計作圖,關鍵是正確理解題意,了解伴侶分割線的意義.
科目:初中數學 來源: 題型:
如圖:
(1)作出與△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1;
(2)若圖中一個小正方形邊長為一個單位長度,請寫出各點的坐標:A1__________;B1__________;C1__________.
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科目:初中數學 來源: 題型:
如圖,∠AOB=30°,點M、N分別在邊OA、OB上,且OM=1,ON=3,點P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是__________.
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科目:初中數學 來源: 題型:
如圖1,△ABC的邊BC在直線l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l,邊EF與邊AC重合,且EF=FP.
(1)在圖1中,請你通過觀察、測量,猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系;
(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時,EP交AC于點Q,連接AP,BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系,請證明你的猜想;
(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時,EP的延長線交AC的延長線于點Q,連接AP,BQ.你認為(2)中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.
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