Question

已知△ABC中，∠C是其最小的內角，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關于點B的伴侶分割線．例如：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=20°，過頂點B的一條直線BD交AC于點D，且∠DBC=20°，顯然直線BD是△ABC的關于點B的伴侶分割線．

（1）如圖2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．請在圖中畫出△ABC的關于點B的伴侶分割線，并標注角度；

（2）在△ABC中，設∠B的度數為y，最小內角∠C的度數為x．試探索y與x之間滿足怎樣的關系時，△ABC存在關于點B的伴侶分割線．

Answer 1

【考點】作圖—應用與設計作圖．

【分析】（1）首先了解伴侶分割線的定義，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；

（2）設BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況．第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分別進行分析．

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）設BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況．

第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，

易知∠C和∠DBC必為底角，∴∠DBC=∠C=x．

當∠A=90°時，△ABC存在伴侶分割線，此時y=90°﹣x，

當∠ABD=90°時，△ABC存在伴侶分割線，此時y=90°+x，

當∠ADB=90°時，△ABC存在伴侶分割線，此時x=45°且y＞x；

第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

當∠DBC=90°時，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，

此時180°﹣x﹣y=y﹣90°，∴y=135°﹣x，

當∠BDC=90°時，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，

此時∠A=45°，∴y=135°﹣x．

綜上所述，當y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣x或y=135°﹣x時△ABC存在伴侶分割線．

【點評】此題主要考查了應用設計作圖，關鍵是正確理解題意，了解伴侶分割線的意義．