Question

我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）ⁿ（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)（a+b）²=a²+2ab+b²展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展開式中的系數(shù)等等．

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（a+b）⁵的展開式．
（2）利用上面的規(guī)律計算：3⁵-5×3⁴+10×3³-10×3²+5×3-1．

Answer 1

分析：（1）由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³可得（a+b）ⁿ的各項展開式的系數(shù)除首尾兩項都是1外，其余各項系數(shù)都等于（a+b）^n-1的相鄰兩個系數(shù)的和，由此可得（a+b）⁴的各項系數(shù)依次為1、4、6、4、1；因此（a+b）⁵的各項系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1．
（2）將3⁵-5×3⁴+10×3³-10×3²+5×3-1寫成“楊輝三角”的展開式形式，逆推可得結(jié)果．

解答：解：（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（2）原式=3⁵+5×3⁴×（-1）+10×3³×（-1）²+10×3²×（-1）³+5×3×（-1）⁴+（-1）⁵，
=（3-1）⁵
=2⁵．

點評：本題考查了完全平方公式，學(xué)生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵．