如圖,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),點(diǎn)Q是AB上一點(diǎn),連接CQ,DP⊥CQ于點(diǎn)E,交BC于精英家教網(wǎng)點(diǎn)P,連接OP,OQ;
求證:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和DP⊥CQ于點(diǎn)E可以得到證明△BCQ≌△CDP的全等條件;
(2)根據(jù)(1)得到BQ=PC,然后連接OB,根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到證明△BOQ≌△COP的全等條件,然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以解決題目的問(wèn)題.
解答:證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,(2分)
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,(4分)
在△BCQ和△CDP中,
∠B=∠PCD
BC=CD
∠1=∠3

∴△BCQ≌△CDP.(5分)

(2)連接OB.
(6分)精英家教網(wǎng)
由(1):△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,(7分)
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
而點(diǎn)O是AC中點(diǎn),
BO=
1
2
AC=CO,∠4=
1
2
∠ABC=45°=∠PCO
,(9分)
在△BOQ和△CDP中,
BQ=CP
∠4=∠PCO
BO=CO

∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.(10分)
點(diǎn)評(píng):解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用,利用它們構(gòu)造證明全等三角形的條件,然后通過(guò)全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖①,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn),PN⊥AC于點(diǎn)N,PM⊥AB于點(diǎn)M,CG⊥AB于點(diǎn)G,則CG=PM+PN.
(1)如圖②,若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上,則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系,若有,請(qǐng)說(shuō)明理由,若沒(méi)有,猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖③,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,AE=AB,點(diǎn)P是BE上任一點(diǎn),PN⊥AB于點(diǎn)N,PM⊥AC于點(diǎn)M,猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系;(直接寫(xiě)出結(jié)論)
(3)觀察圖①、②、③的特性,請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形,使它仍然具有PM、PN、CG這樣的線段,并滿足圖①或圖②的結(jié)論,寫(xiě)出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

14、如圖,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,AE平分∠BAC,EF⊥AC交AC于點(diǎn)F.
(1)圖中與線段BE相等的所有線段是
EF和FC

(2)選擇圖中與BE相等的任意一條線段,并加以證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖①,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn),PN⊥AC于點(diǎn)N,PM⊥AB于點(diǎn)M,CG⊥AB于點(diǎn)G點(diǎn).
(1)則CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關(guān)系是
 
;
(2)如圖②,若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上,則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系,若有,請(qǐng)說(shuō)明理由,若沒(méi)有,猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖③,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,AE=AB,點(diǎn)P是BE上任一點(diǎn),PN⊥AB于點(diǎn)N,PM⊥AC于點(diǎn)M,猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系;(直接寫(xiě)出結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,AE平分∠BAC,EF⊥AC交AC于點(diǎn)F.
(1)圖中與線段BE相等的所有線段是
EF、CF
EF、CF
;選擇圖中與BE相等的任意一條線段,并加以證明;
(2)若BE=1,求△AEC的面積.

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