Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于點(diǎn)A，交BC邊于點(diǎn)E，DC⊥BC于點(diǎn)C，與AD交于點(diǎn)D，
（1）求證：△ACE∽△ADC；
（2）如果CE=1，CD=2，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵∠D=90°-∠DEC=90°-∠BEA=∠B（2分）
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠B，∴∠D=∠ACE（1分）
又∠EAC=∠CAD（公共角）（1分）
∴△ACE∽△ADC（AA）（2分）

（2）設(shè)AC=AB=x
∵
∴（2分）
（1分）
∵△ACE∽△ADC，∴，即AC•DC=EC•AD（2分）
所以有
解之得．（3分）
分析：（1）由對(duì)頂角相等、等角的余角相等求得∠D=∠B；然后根據(jù)等腰三角形ABC的兩個(gè)底角相等、等量代換推知∠D=∠ACE；最后由公共角∠EAC=∠CAD證明△ACE∽△ADC（AA）；
（2）設(shè)AC=AB=x．利用（1）中的∠D=∠B、直角三角形的正切三角函數(shù)的定義推知AE=AB=x；然后根據(jù)勾股定理求得AD=AE+ED=+；最后根據(jù)△ACE∽△ADC的對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x的方程，解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形．解答該題時(shí)，利用三角函數(shù)的定義求相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．