Question

如圖（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠o）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）如圖（2）T是拋物線上的一點，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，若△DNM∽△BMD，求點T的坐標；
（3）如圖（3），過點A的直線與拋物線相交于E，且E點的橫坐標為2，與y軸交于點F；直線PQ是拋物線的對稱軸，G是直線PQ上的一動點，試探究在x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點圍成的四邊形周長最��？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，然后將點B的坐標代入函數解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先設M的坐標為（m，0），求得BD與DM的長，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長，然后由相似三角形對應邊成比例，即可得DM²=BD•MN，則可得到關于m的一元二次方程，解方程即可求得答案；
（3）作F關于x軸的對稱點F′（0，-1），連接EF′交x軸于H，交對稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長即為最小，則根據題意即可求得這個最小值及點G、H的坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∵點B的坐標為（3，0），
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3，∴當x=0時，y=3，
∴點D的坐標為（0，3），
∵點B的坐標為（3，0），
∴BD=

32+32

=3

2

．
設M（m，0），則DM=

32+m2

．
∵MN∥BD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

，即

MN

3 2

=

1+m

4

，
∴MN=

3 2

4

（1+m）．
∵△DNM∽△BMD，
∴

DM

BD

=

MN

DM

，即DM²=BD•MN，
∴9+m²=3

2

×

3 2

4

（1+m），
解得：m=

3

2

或m=3（舍去）．
當m=

3

2

時，y=-（

3

2

-1）²+4=

15

4

．
故所求點T的坐標為（

3

2

，

15

4

）；

（3）在x軸上存在一點H，能夠使D、G、H、F四點圍成的四邊形周長最�。�理由如下：
∵y=-x²+2x+3，對稱軸方程為：x=1，
∴當x=2時，y=-4+4+3=3，
∴點E（2，3）．
∴設直線AE的解析式為：y=kx+n，
∴

-k+n=0 2k+n=3

，解得

k=1 n=1

，
∴直線AE的解析式為：y=x+1，
∴點F（0，1），
∵D（0，3），
∴D與E關于x=1對稱，
作點F關于x軸的對稱點F′（0，-1），連接EF′交x軸于H，交對稱軸x=1于G，則四邊形DFHG的周長即為最小．
設直線EF′的解析式為：y=px+q，
∴

q=-1 2p+q=3

，解得：

p=2 q=-1

，
∴直線EF′的解析式為：y=2x-1，
∴當y=0時，2x-1=0，得x=

1

2

，即H（

1

2

，0），
當x=1時，y=1，即G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，DG=

12+22

=

5

，
∴使D、G，H、F四點所圍成的四邊形周長最小值為：DF+FH+GH+DG=2+

5

2

+

5

2

+

5

=2+2

5

．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求一次函數、二次函數函數的解析式，平行線分線段成比例定理，軸對稱-最短路線問題，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．