Question

如圖所示，拋物線y=-（x-m）²的頂點(diǎn)為A，直線l：y=

3

x-

3

m與y軸的交點(diǎn)為B，其中m＞0．
（1）寫出拋物線對稱軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（用含有m的代數(shù)式表示）
（2）證明點(diǎn)A在直線l上，并求∠OAB的度數(shù)；
（3）動點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)式拋物線解析式即可得出拋物線的對稱軸為x=m，頂點(diǎn)坐標(biāo)A（m，0）；
（2）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的解析式中即可判定出點(diǎn)A是否在直線l上．
根據(jù)題意不難得出OA=m，OB=

3

m，據(jù)此可求出∠OAB的正切值，進(jìn)而可求出∠OAB的度數(shù)；
（3）本題要分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠AQP=90°，∠QAP=60°，m=3，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-3

3

，-3）；
②當(dāng)∠AQP=90°，∠QPA=60°，m=

3

，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）；
③當(dāng)∠APQ=90°，∠AQP=60°，m=

2

3

，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2- 3

3

，-

1

3

）；
④當(dāng)∠APQ=90°，∠QAP=60°，m=2，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-

3

，-3）．

解答：解：（1）對稱軸為直線x=m，頂點(diǎn)A（m，0）；

（2）把x=m代入函數(shù)y=

3

x-

3

m，
得y=

3

m-

3

m=0
∴點(diǎn)A（m，0）在直線l上．
當(dāng)x=0時，y=-

3

m
∴B（0，-

3

m），tan∠OAB=

3

∴∠OAB=60°；

（3）①當(dāng)∠AQP=90°，∠QAP=60°，AQ=OA=m，PQ=OB=

3

m
，因此P點(diǎn)坐標(biāo)為（m-

3

m，-m），
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得m=

1

3

，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1- 3

3

，-

1

3

）．
②當(dāng)∠AQP=90°，∠QPA=60°，此時P，B重合，
因此P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

3

m），
代入拋物線解析式得m=

3

，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．
③當(dāng)∠APQ=90°，∠QAP=60°，PA=m，過P作PC⊥AQ于C，
那么PC=AP•sin60°=

3

2

m，AC=

1

2

m，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m-

3

2

m，-

1

2

m）．
代入拋物線得m=

2

3

，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2- 3

3

，-

1

3

）；
④當(dāng)∠APQ=90°，∠AQP=60°，PA=OB=

3

m，
過P作PD⊥AQ于D，
那么PD=AP•sin30°=

3

2

m，AD=

3

2

m，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m-

3

2

m，-

3

2

m），
代入拋物線得m=2，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-

3

，-3）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及全等三角形的判定等知識點(diǎn)，（3）在不確定全等三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的情況下要分類討論．