Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)(為正常數(shù))的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與軸交于C點(diǎn)．直線過M(0，m)（且）且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點(diǎn)D、E．二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線的對(duì)稱圖象與y軸交于點(diǎn)P．設(shè)直線PD與軸交點(diǎn)為Q ，則：

⑴ 求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵ 求的值（用含m的代數(shù)式表示）；

⑶ 是否存在實(shí)數(shù)m，使？若能，則求出相應(yīng)的m的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】⑴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）．

⑵ AD=．

⑶當(dāng)>1時(shí)，才存在實(shí)數(shù)m使得∽，從而有，此時(shí)；當(dāng)0<1時(shí)，不存在實(shí)數(shù)m使得．

【解析】試題分析：（1）令y=0，可得A點(diǎn)的坐標(biāo)，令x=0，可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)A、C兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AC的解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出對(duì)應(yīng)線段的長度，最后利用勾股定理即可求出AD；（3）要使CD·AQ=PQ·DE，因?yàn)椤?/span>PQA=∠PDE=∠CDE，所以只須△PQA∽△CDE，即須△PQA∽△PDE，分0 <m<1，1<m<2兩個(gè)情況討論求解即可．

試題解析：

⑴ 令y=0，可得：0=-（x+1）（x－a），

解得x1=-1，x2=a，

∵A在B的左側(cè)，a＞0，

∴A（-1,0），

令x=0，可得：y=-×（-a）=2，

∴C（0，2）．

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）．

（2）

作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵A（-1，0），C（0，2），

∴直線AC解析式為：y=2x+2，

令y=m，m=2x+2，x=－1，

∴D（－1，m），

∴FO=1－，

∴AF=，

∵DF=m，

∴AD=m．

⑶連接AP、PE，

要使CD·AQ=PQ·DE，∵∠PQA=∠PDE=∠CDE，

∴只須△PQA∽△CDE，即須△PQA∽△PDE．

當(dāng)0 <m<1時(shí)，點(diǎn)P在x軸下方，此時(shí)∠PQA顯然為鈍角，

而∠PDE顯然為銳角，故此時(shí)不能有△PQA∽△CDE．

當(dāng)1<m<2時(shí)，△PQA∽△PDE時(shí)，A、P、E三點(diǎn)共線，

∴△APO∽△EPM，

∴=,

∵B（a，0），C（0,2），

∴直線BC解析式為：y=-x+2，

令=，=-+2，=a－，

∴E（a－，m），

∴ME= a－,

∵CO=2，MO=m，

∴PM=CM=2－m，

∴PO=2m－2，

∴=，

∴ ，而此時(shí)1<m<2，

∴，

∴a>1．

綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，才存在實(shí)數(shù)m使得△PQA∽△CDE，從而有CD·AQ=PQ·DE，此時(shí)；當(dāng)0<a≤1時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得CD·AQ=PQ·DE．