Question

平面上有四個點（沒有三點共線），以這四個點為頂點作三角形，其中銳角三角形最多有（　�。﹤�．

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考點：三角形邊角關系

專題：

分析：平面內的四個點（沒有三點共線）可以組成4個三角形．假設以每三個點為頂點的三角形都是銳角三角形，記四個點為A、B、C、D，考慮點D在△ABC之內與之外這兩種情況，利用與已知定理矛盾，從而假設不成立．以此推斷其中銳角三角形最多有3個．

解答：解：平面內的四個點（沒有三點共線）可以組成4個三角形．
假設以每三個點為頂點的三角形都是銳角三角形，記四個點為A、B、C、D，考慮點D在△ABC之內與之外這兩種情況．
（1）如果點D在△ABC之內，由假設知圍繞點D的三個角都是銳角，其和小于270°，這與一個周角等于360°相矛盾，根據∠ADB、∠BDC、∠ADC三個角一定小于180°，即其中兩個的和一定大于180°，則三個角中最多有2個銳角，即△ABD、△ADC和△BDC中最多有2個銳角三角形，加上△ABC，則圖中最多有3個銳角三角形．
（2）如果點D在△ABC之外，由假設知∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB都小于90°，這與四邊形的內角和為360°相矛盾，則四個角中最多有3個銳角，則四個三角形中最多有三個銳角三角形．
綜上所述，銳角三角形最多有3個．
故選A．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，正確判斷∠ADB、∠BDC、∠ADC三個角中最多有2個銳角，以及∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB四個三角形中最多有三個銳角三角形是關鍵．