Question

17．如圖，已知矩形ABCD中，點E是CD邊上的一點，連結(jié)BE，過點A作AF⊥BE．垂足為點F，且AF=BE，過點F作MN∥BC，與AB、CD邊分別交于點M、N，求證：四邊形AMND為正方形．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是矩形，得到兩組對邊平行，四個角為直角，對角線相等，根據(jù)MN與BC平行，得到MN與AD平行，可得出四邊形AMND是平行四邊形，由一個角為直角的平行四邊形是矩形得到AMND是矩形，得到∠AMN=90°，根據(jù)AF與BE垂直，得到一對直角相等，利用AAS得到三角形AFM與三角形BEC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AM=BC，根據(jù)AD=BC，得到AM=AD，利用鄰邊相等的矩形是正方形即可得證．

解答 證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD=∠C=∠ABC=90°，BC=AD，
∵MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵AB∥CD，
∴四邊形AMND是平行四邊形，
又∵∠BAD=90°，
∴四邊形AMND是矩形，
∴∠AMN=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
又∵∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，
∴∠BAF=∠EBC，
在△AFM和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAM=∠EBC}\\{∠AMF=∠C=90°}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△BEC（AAS），
∴AM=BC，
又∵AD=BC，
∴AM=AD，
又∵四邊形AMND是矩形，
∴四邊形AMND是正方形．

點評 此題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．