如圖,拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A(a,0)和B(b,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,下列四個(gè)命題:
①當(dāng)x>0時(shí),y>0;
②若a=﹣1,則b=3;
③拋物線上有兩點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,則y1>y2;
④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)G,F(xiàn)分別在x軸和y軸上,當(dāng)m=2時(shí),四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6.
其中真命題的序號(hào)是 .
②③ .
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【專題】計(jì)算題.
【分析】觀察函數(shù)圖象,利用拋物線在x軸上所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍可對(duì)①進(jìn)行判斷;拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,則利用對(duì)稱性可對(duì)②進(jìn)行判斷;確定點(diǎn)Q比點(diǎn)P離對(duì)稱軸的距離要大,則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷;當(dāng)m=2時(shí),先確定D(1,4),C(0,3),E(2,3),利用勾股計(jì)算出DE=,作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′,E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E′,利用關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D′(﹣1,4),E′(2,﹣3),根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得FD=FD′,GE=GE′,于是FD+FG+GE=D′E′,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小,然后利用勾股定理計(jì)算出D′E′=,于是可對(duì)④進(jìn)行判斷.
【解答】解:當(dāng)a<x<b時(shí),y>0,所以①錯(cuò)誤;
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣=1,當(dāng)a=﹣1,即A(﹣1,0),而點(diǎn)A與點(diǎn)B為對(duì)稱點(diǎn),則B(3,0),所以②正確;
因?yàn)閤1<1<x2,所以點(diǎn)P和Q在對(duì)稱軸兩側(cè),而x1+x2>2,則點(diǎn)Q比點(diǎn)P離對(duì)稱軸的距離要大,所以y1>y2,所以③正確;
當(dāng)m=2時(shí),y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,則D(1,4),C(0,3),
∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,
∴E(2,3),
∴DE==,
作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′,E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E′,則D′(﹣1,4),E′(2,﹣3),
∴FD=FD′,GE=GE′,
∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′,
∴此時(shí)四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小,
而D′E′==,
∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為+,所以④錯(cuò)誤.
故答案為②③.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和求最短路徑的解決方法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某產(chǎn)品生產(chǎn)車間有工人10名.已知每名工人每天可生產(chǎn)甲種產(chǎn)品12個(gè)或乙種產(chǎn)品10個(gè),且每生產(chǎn)一個(gè)甲種產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)100元,每生產(chǎn)一個(gè)乙種產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)180元.在這10名工人中,車間每天安排x名工人生產(chǎn)甲種產(chǎn)品,其余工人生產(chǎn)乙種產(chǎn)品.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出此車間每天獲取利潤(rùn)y(元)與x(人)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若要使此車間每天獲取利潤(rùn)為14400元,要派多少名工人去生產(chǎn)甲種產(chǎn)品?
(3)若要使此車間每天獲取利潤(rùn)不低于15600元,你認(rèn)為至少要派多少名工人去生產(chǎn)乙種產(chǎn)品才合適?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊,BE、CF為折痕,折疊后點(diǎn)B和點(diǎn)D都落在點(diǎn)O處。若△EOF是等邊三角形,則的值為 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知﹣1是關(guān)于x的方程x2+4x﹣m=0的一個(gè)根,則這個(gè)方程的另一個(gè)根是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn),把一根長(zhǎng)40cm的鐵絲剪成兩段,并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形.
(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?
(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2,你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是
A. 1,5 B. 1,-6 C. 5,-6 D. 5,6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
多項(xiàng)式2(x2+y2)(x+y)2-(x2-y2)2的值為零,則x與y之間的關(guān)系是
A.相等
B.互為倒數(shù)
C.互為相反數(shù)
D.互為負(fù)倒數(shù)
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