Question

14、已知Rt△ABC的兩條直角邊的長a、b均為整數(shù)，且a為質數(shù)，若斜邊c也是整數(shù)，求證：2（a+b+1）是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：由勾股定理易得a²+b²=c²，則a²=c²-b²=（c+b）（c-b），因為a為質數(shù)，所以c+b=a²，c-b=1，兩式相減可得a²=2b+1，代入2（a+b+1）即可得證．

解答：解：∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c是斜邊，
∴a²+b²=c²，
即a²=c²-b²=（c+b）（c-b），
∵a為質數(shù)，
∴c+b=a²，c-b=1，
∴a²=2b+1，
∴2（a+b+1）=a²+2a+1=（a+1）²，
∴2（a+b+1）是完全平方數(shù)．

點評：此題考查完全平方數(shù)，根據(jù)勾股定理和a為質數(shù)展開答題，是關鍵．