Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，連接BE、CE，∠BEC=90°．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）若EC=4，且，求四邊形ABCE的面積．

Answer 1

（1）證明：取BC的中點F，連接EF．
∵E、F分別是AD、BC的中點，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AE∥BF，即四邊形ABFE為平行四邊形．
又∵∠BEC=90°，F(xiàn)為BC的中點，
∴EF=BC=BF．
∴四邊形ABFE為菱形．
∴BE平分∠ABC．

（2）解：過點E作EH⊥BC，垂足為H．
∵四邊形ABFE為菱形，
∴AB=BF=．
∴BE=AB，
∵
又∵∠BEC=90°，
∴∠BCE=60度．
∵BC=2EC=8，EH=EC•sin60°=4×．
∴S_{四邊形ABCE}=（AE+BC）•EH=（8+4）×2．
分析：（1）取BC的中點F，連接EF，要證明BE平分∠ABC，只需證明四邊形ABFE為菱形，因為AE和BF既平行又相等，可先證平行四邊形，又因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證EF=FB，即四邊形ABFE為菱形，利用菱形的性質可知對角線平分對角，從而得出結論；
（2）由圖象可知四邊形ABCE為梯形，所以要求面積，必須求出上下底和高，而上下底和高都可利用題中已知條件，借助于三角函數(shù)來求出．
點評：此題考查了菱形的判定以及三角函數(shù)的應用，考查比較全面，難易程度適中．