【題目】如圖,已知AB是O的直徑,點C在O上,過點C的直線與AB的延長線交于點P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求證:PC是O的切線;
(2)求證:BC= AB;
(3)點M是弧AB的中點,CM交AB于點N,若AB=4,求MN·MC的值.
【答案】
(1)
證明:∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°.
即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半徑.
∴PC是⊙O的切線.
(2)
證明:∵AC=PC,
∴∠A=∠P,
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.
又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,
∴∠COB=∠CBO,
∴BC=OC.
∴BC= AB.
(3)
解:連接MA,MB,
∵點M是 的中點,
∴ = ,
∴∠ACM=∠BCM.
∵∠ACM=∠ABM,
∴∠BCM=∠ABM.
∵∠BMN=∠BMC,
∴△MBN∽△MCB.
∴ ,
∴BM2=MNMC.
又∵AB是⊙O的直徑, = ,
∴∠AMB=90°,AM=BM.
∵AB=4,
∴BM=2 .
∴MNMC=BM2=8.
【解析】(1)由半徑OA=OC,可得等邊對等角∠A=∠ACO,則∠COB=2∠A,已知∠COB=2∠PCB,∠A=∠ACO=∠PCB.由直徑所對的圓周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°.從而轉(zhuǎn)換得到∠PCB+∠OCB=90°即可證得;(2)“等角對等邊”與“等邊對等角”相互運用可證OC=BC;(3)連接MA,MB,先證明△MBN∽△MCB.則 ,即BM2=MNMC.由AB是⊙O的直徑, = ,AB=4,解出BM,從而可解得MNMC.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識,掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖a.圖b均為邊長等于1的正方形組成的網(wǎng)格.
(1)在圖a空白的方格中,畫出陰影部分的圖形沿虛線AB翻折后的圖形,并算出原來陰影部分的面積.(直接寫出答案)
(2)在圖b空白的方格中,畫出陰影部分的圖形向右平移2個單位,再向上平移1個單位后的圖形,并判斷原來陰影部分的圖形是什么三角形?(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】丁丁家買了一套安置房,地面結(jié)構(gòu)如圖所示.
(1)寫出用含x、y的式子表示地面的總面積;
(2)如果x=4 m,y=1.5 m,鋪1 m2地磚的平均費用為80元,求鋪地磚的總費用.
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【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,格點△ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點的三角形)的頂點A(-4,5),C(-1,3).
(1)請在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系,并計算△ABC的面積;
(2)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′;
(3)點P在x軸上,且△POB的面積等于△ABC面積的一半,求點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在長方形ABCD中,AB=4,BC=5,點E在邊CD上,以B為坐標(biāo)原點,BA所在直線為y軸,BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,A(0,4).以AE所在直線為折痕折疊長方形ABCD,點D恰好落在BC邊上的F點.
(1)求點F的坐標(biāo);
(2)求點E的坐標(biāo);
(3)在AE上是否存在點P,使PB+PF最?若存在,作出點P的位置,并求出PB+PF的最小值;不存在,說明理由.
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【題目】如圖所示,正方形ABCD的頂點B,C在x軸的正半軸上,反比例函數(shù)y= (k≠0)在第一象限的圖象經(jīng)過頂點A(m,m+3)和CD上的點E,且OB﹣CE=1.直線l過O、E兩點,則tan∠EOC的值為( )
A.
B.5
C.
D.3
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【題目】某物流公司的快遞車和貨車同時從甲地出發(fā),以各自的速度勻速向乙地行駛,快遞車到達(dá)乙地后卸完物品再另裝貨物共用45分鐘,立即按原路以另一速度勻速返回,直至與貨車相遇.已知貨車的速度為60千米/時,兩車之間的距離y(千米)與貨車行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
現(xiàn)有以下4個結(jié)論:
①快遞車從甲地到乙地的速度為100千米/小時;
②甲、乙兩地之間的距離為120千米;
③圖中點B的坐標(biāo)為(3.75,75);
④快遞車從乙地返回時的速度為90千米/小時
以上結(jié)論正確的是________________.
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【題目】某公司投資1200萬元購買了一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品.根據(jù)市場調(diào)研,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要成本50元,該產(chǎn)品進(jìn)入市場后不得低于80元/件且不得超過160元/件,該產(chǎn)品銷售量y(萬件)與產(chǎn)品售價x(元)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(2)第一年公司是盈利還是虧損?求出當(dāng)盈利最大或虧損最小時的產(chǎn)品售價;
(3)在(2)的前提下,即在第一年盈利最大或者虧損最小時,公司第二年重新確定產(chǎn)品售價,能否使前兩年盈利總額達(dá)790萬元?若能,求出第二年產(chǎn)品售價;若不能,說明理由.
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【題目】某區(qū)在實施居民用水管理前,隨機調(diào)查了部分家庭(單位:戶)去年的月均用水量(單位:t),并將調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖表:
請解答以下問題:
(1)把上面的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(2)若該小區(qū)有2000戶家庭,根據(jù)此次隨機抽查的數(shù)據(jù)估計,該小區(qū)月均用水量不低于20t的家庭有多少戶?
(3)為了鼓勵節(jié)約用水,要確定一個月均用水量的標(biāo)準(zhǔn),超出該標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價格收費,若要使68%的家庭水費支出不受影響,那么,你覺得家庭月均用水量應(yīng)定為多少?
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