Question

【題目】正方形ABCD的邊長為4，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，線段AQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長（　�。�

A. 2 B. 1 C. 4 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析: 由題意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC=90°，∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°，所以∠QPC=∠BAP，又∠B=∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性質(zhì)可得：=，CQ=×BP，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，AB=4，將其代入該式求出CQ的值即可，利用“配方法”求該函數(shù)的最大值．易知點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是O′→O→O′，CQ最大時(shí)，OO′=CQ=.

詳解: 如圖，連接AC，設(shè)AC的中點(diǎn)為O′，AQ的中點(diǎn)為O．設(shè)BP的長為xcm，CQ的長為ycm．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°

∵PQ⊥AP，

∴∠APB+∠QPC=90°

∠APB+∠BAP=90°

∴∠BAP=∠QPC

∴△ABP∽△PCQ

∴=，即，

∴y=-x2+x=-（x-2）2+1（0＜x＜4）；

∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值1cm．

易知點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是O′→O→O′，CQ最大時(shí)，OO′=CQ=，

∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑的長為2OO′=1，

故答案為1.

點(diǎn)睛: 本題主要考查正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的中位線定理等知識(shí)，關(guān)鍵在于理解題意運(yùn)用三角形的相似性質(zhì)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，學(xué)會(huì)探究點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡.