Question

【題目】如圖，在梯形中中，，是的中點(diǎn)，，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為.

（1）當(dāng)的值為多少時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；

（2）當(dāng)的值為多少時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，以為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)的值為3或8時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；（2）當(dāng)的值為1或11時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；（3）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形，理由詳見解析.

【解析】

（1）過AD作于，于，當(dāng)時(shí)，分情況討論，求出即可；

（2）分為兩種情況，畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

（3）化成圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定求出BP即可．

解（1）如圖，分別過AD作于，于

∴

而

∴

∴

若以為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，

則或，（在圖中不存在）

當(dāng)時(shí)

∴與重合

∴

當(dāng)時(shí)

∴與重合

∴

故當(dāng)的值為3或8時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；

（2）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么，有兩種情況：

①當(dāng)在的左邊，

∵是的中點(diǎn)，

∴

∴

②當(dāng)在的右邊，

故當(dāng)的值為1或11時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形

當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴，過作于，

∵，，則，

∴.

∴，

∴

故此時(shí)是菱形

即以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形.