Question

【題目】在學(xué)習(xí)蘇科版九下《銳角三角函數(shù)》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．

（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝　 　，tan30°＝　 　，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；

（2）實(shí)踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形：延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，連接BD，所以得到∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．

請(qǐng)按小明的思路進(jìn)行余下的求解：

（3）拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．

①tan2A＝　 　；

②求tan3A的值．

Answer 1

【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②.

【解析】

（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AC，得結(jié)論；

（3）①作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得結(jié)果；

②作BM交AC于點(diǎn)M，使∠MBE=∠EBA，則∠BMC=3∠A．利用角平分線的性質(zhì)和勾股定理求出EM的長(zhǎng)，求tan∠BMC得結(jié)果.

（1）tan60°＝，tan30°＝，

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan∠A，

故答案為：，，≠；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，

∴AB＝＝，

如圖1，延長(zhǎng)CA至D，使得DA＝AB，

∴AD＝AB＝，

∴∠D＝∠ABD，

∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，

∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；

（3）①如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，

則∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝，

∴BC＝1，AB＝，

設(shè)AE＝x，則EC＝3﹣x，

在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，

解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，

∴tan2A＝tan∠BEC＝＝，

故答案為：；

②如圖3，作BM交AC于點(diǎn)M，使∠MBE＝∠EBA，

則∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．

設(shè)EM＝y(tǒng)，則MC＝EC﹣EM＝﹣y，

∵∠MBE＝∠EBA，

∴，即，

∴BM＝y，

在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2

即（y）2＝（﹣y）2+1，

整理，得117y2+120y﹣125＝0，

解得，y1＝，y2＝﹣（不合題意，舍去）

即EM＝，CM＝﹣＝，

∴tan3A＝tan∠BMC＝，

＝＝．