Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥BD于E．

（1）如圖（1），若BD平分∠ABC時(shí)，①求∠ECD的度數(shù)；②求證：BD=2EC；

（2）如圖（2），過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，猜想線段BE，CE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CBA=45°，再利用角平分線的定義解答即可；

②延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G得出CE=GE，再利用AAS證明△ABD≌△ACG，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥AE，交BE于點(diǎn)H，證明△ABH≌△ACE，進(jìn)而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠CBA=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBA=22.5°，

∵CE⊥BD，

∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，

∵∠CDE=∠BDA，

∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G，如圖1：

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD與△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）結(jié)論：BE﹣CE=2AF．

過點(diǎn)A作AH⊥AE，交BE于點(diǎn)H，如圖2：

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH=∠CAE，

在△ABH與△ACE中，

，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE=BH，AH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AF=EF=HF，

∴BE﹣CE=2AF．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的構(gòu)建出與所求和已知相關(guān)的全等三角形，是解答本題的關(guān)鍵．