Question

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），直線x=1交x軸于點(diǎn)B。P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點(diǎn)C。過(guò)P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交直線x=1于點(diǎn)N。

　�。�1）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求證：△OPM≌△PCN；

　�。�2）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，設(shè)AP長(zhǎng)為m，四邊形POBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　�。�3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90⁰，

　　∴四邊形OBNM為矩形。

　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90⁰

　　∵，AO=BO=1，

　　∴AM=PM。

　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

　　∴OM=PN，

　　∵∠OPC=90⁰，

　　∴∠OPM+CPN=90^0，

　　又∵∠OPM+∠POM=90⁰　　∴∠CPN=∠POM，

　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　�。�2）∵AM=PM=APsin45⁰=，

　　∴NC=PM=，∴BN=OM=PN=1-；

　　∴BC=BN-NC=1--=

　　

　�。�3）△PBC可能為等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　�、佼�(dāng)P與A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)P（0，1）

　�、诋�(dāng)點(diǎn)C在第四象限，且PB=CB時(shí)，

　　有BN=PN=1－，

　　∴BC=PB=PN=-m，

∴NC=BN+BC=1－+-m，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　由⑵知：NC=PM=，

　　∴1－+-m=，　　∴m=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　∴PM==，BN=1－=1－，

　　∴P（,1－）.

∴使△PBC為等腰三角形的的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（,1－）