Question

（2012•峨邊縣模擬）如圖在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．
（1）請完成如下操作：
①以點O為坐標原點、豎直和水平方向為軸、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系； ②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．
（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：
①寫出點的坐標：C

（6，2）

、D

（2，0）

；
②⊙D的半徑=

2

5

（結果保留根號）；
③若E（7，0），試判斷直線EC與⊙D的位置關系，并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意建立平面直角坐標系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線，兩直線的交點即為圓心D，連接AD，CD；
（2）①根據第一問畫出的圖形即可得出C及D的坐標；
②在直角三角形AOD中，由OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，即為圓O的半徑；
③直線CE與圓O的位置關系是相切，理由為：由圓的半徑得出DC的長，在直角三角形CEF中，由CF及FE的長，利用勾股定理求出CE的長，再由DE的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE為直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直線CE為圓O的切線．

解答：解：（1）根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

（2）①根據圖形得：C（6，2），D（2，0）；
②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根據勾股定理得：AD=

OA2+OD2

=2

5

，
則⊙D的半徑為2

5

；
③直線EC與⊙D的位置關系為相切，理由為：
在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，
根據勾股定理得：CE=

CF2+EF2

=

5

，
在△CDE中，CD=2

5

，CE=

5

，DE=5，
∵CE²+CD²=（

5

）²+（2

5

）²=5+20=25，DE²=25，
∴CE²+CD²=DE²，
∴△CDE為直角三角形，即∠DCE=90°，
∴CE⊥DC，
則CE與圓D相切．
故答案為：（2）①（6，2）；（2，0）；②2

5

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：坐標與圖形性質，垂徑定理，勾股定理及逆定理，切線的判定，利用了數形結合的思想，根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．