【題目】如圖,在△ABC中,ABAC5,BC8,點(diǎn)D是邊BC上(不與BC重合)一動(dòng)點(diǎn),∠ADE=∠Ba,DEAC于點(diǎn)E,下列結(jié)論:①AD2AEAB;②1.8≤AE5;⑤當(dāng)AD時(shí),△ABD≌△DCE;④△DCE為直角三角形,BD46.25.其中正確的結(jié)論是_____.(把你認(rèn)為正確結(jié)論序號(hào)都填上)

【答案】①②④.

【解析】

①易證ABD∽△ADF,結(jié)論正確;

②由①結(jié)論可得:AE=,再確定AD的范圍為:3≤AD5,即可證明結(jié)論正確;

③分兩種情況:當(dāng)BD4時(shí),可證明結(jié)論正確,當(dāng)BD4時(shí),結(jié)論不成立;故③錯(cuò)誤;

④△DCE為直角三角形,可分兩種情況:∠CDE=90°或∠CED=90°,分別討論即可.

解:如圖,在線段DE上取點(diǎn)F,使AF=AE,連接AF,

則∠AFE=AEF,

AB=AC,

∴∠B=C

∵∠ADE=B=a,

∴∠C=ADE=a,

∵∠AFE=DAF+ADE,∠AEF=C+CDE,

∴∠DAF=CDE,

∵∠ADE+CDE=B+BAD

∴∠CDE=BAD,

∴∠DAF=BAD

∴△ABD∽△ADF

,即AD2=ABAF

AD2=ABAE

故①正確;

由①可知:

當(dāng)ADBC時(shí),由勾股定理可得:

,

,

,即,故②正確;

如圖2,作AHBCH,

AB=AC=5,

BH=CH=BC=4,

,

AD=AD′=

DH=D′H=,

BD=3BD′=5CD=5CD′=3,

∵∠B=C

∴△ABD≌△DCESAS),ABDDCE不是全等形

故③不正確;

如圖3,ADBC,DEAC,

∴∠ADE+DAE=C+DAE=90°,

∴∠ADE=C=B,

BD=4

如圖4,DEBCD,AHBCH

∵∠ADE=C,

∴∠ADH=CAH

∴△ADH∽△CAH,

,即,

DH=,

BD=BH+DH=4+==6.25,

故④正確;

綜上所述,正確的結(jié)論為:①②④;

故答案為:①②④.

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