Question

已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱，PB分別與線段CF，AF相交于點(diǎn)P，M.

（1）求證：AB=CD.

（2）若∠BAC=2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）∠MCD=∠F，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱易證AC=CD，再根據(jù)角平分線，及垂直得到AC=AB，可得答案AB=CD；

（2）易證∠CAD=∠CDA=∠MPC，∠CMA=∠BMA=PMF，可得到∠MCD=∠F．

試題解析：（1）∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，

∵D與A關(guān)于E對(duì)稱，∴E為AD中點(diǎn)，∵BC⊥AD，∴BC為AD的中垂線，∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB，∴AB=CD．

（2）∠F=∠MCD，理由如下：∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，

∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，

∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE，∴AM為BC的中垂線，∴CM=BM．

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB．∴∠CME=∠BME，

∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F．

考點(diǎn)：1．軸對(duì)稱的性質(zhì)；2．線段垂直平分線的性質(zhì)；3．等腰三角形的性質(zhì)．