Question

20．在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，E是OC上的一點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，將四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形ABCE是平行四邊形，只要證明CE=AB，CE∥AB即可．
（2）設(shè)OE=x，在RT△EOA中，根據(jù)OE²+OA²=AE²列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1，∵△OBC為等邊三角形，
∴OC=OB，∠COB=60°．，
∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，
∴EC=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$OB，∠COA=90°，
∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，
∴CE∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
（2）解：如圖2，∵四邊形ABCO折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，
∴△CEF≌△AEF，
∴EC=EA，
∵OB=4，
∴OC=BC=4，
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，
∴OA=$2\sqrt{3}$，
在Rt△OAE中，由（1）知：∠EOA=90°，
設(shè)OE=x，
∵OE²+OA²=AE²，
∴x²+${（{2\sqrt{3}}）^2}$=（4-x）²，
解得，x=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．