Question

【題目】在圖1到圖3中，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△MPN為直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不動(dòng)，△MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點(diǎn)始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點(diǎn)E，PN垂直于直線BC于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)P在線段OC上時(shí)，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對(duì)你的猜想結(jié)果給予證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系；位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE＝OF，OE⊥OF，見解析；（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)利用正方形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠BCA、AO＝CO，再根據(jù)已知得出∠AEO＝∠AFO=90，從而得到△AEO≌△CFO即可；
（2）當(dāng)P在線段OC上時(shí)，根據(jù)正方形得性質(zhì)先證明PF＝FC，再證明四邊形BEPF為矩形，得到BE＝PF，從而得到BE＝FC，再證明△OBE≌△OCF即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，有相同的關(guān)系，其證明方法與（2）類似．

（1）解：由題意得：

∠BAC＝∠BCA＝45°，AO＝CO，

∠AEO＝∠AFO，

在△AEO和△CFO中

，

∴△AEO≌△CFO（AAS）

∴OE＝OF；

（2）解：OE＝OF，OE⊥OF；

證明：連接BO，

∵在正方形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，

∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，

∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，

∴∠FPC＝45°，PF＝FC．

∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB＝∠PFB＝90°．

∴四邊形PEBF是矩形，

∴BE＝PF．

∴BE＝FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，

∵∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF．

（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．

理由：連接BO，

∵在正方形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，

∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，

∴∠OCF＝∠OBE

∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，

∴∠FPC＝45°，PF＝FC．

∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB＝∠PFB＝90°．

∴四邊形PEBF是矩形，

∴BE＝PF．

∴BE＝FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，

∵∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF．