【題目】閱讀下面的材料,并解決問(wèn)題.

1)已知在ABC中,∠A60°,圖1-圖3ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O,請(qǐng)直接求出下列角度的度數(shù).

如圖1,∠O     ; 如圖2,∠O     ; 如圖3,∠O     ;如圖4,∠ABC,∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1O2,連接O1O2,則∠BO2O1    

2)如圖5,點(diǎn)OABC兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),求證:∠O90°A.

3)如圖6ABC中,∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1,O2,若∠1115°,∠2135°,求∠A的度數(shù).

【答案】1120°30°,60°50° ;(2)見(jiàn)解析;(3)∠A70°

【解析】

1)由∠A的度數(shù),在△ABC中,可得∠ABC∠ACB的和,又BOCO是內(nèi)角平分線或外角平分線,利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)進(jìn)而即可求解∠O的大;
2)由∠A的度數(shù),在△ABC中,可得∠ABC與∠ACB的和,又BO、CO是角平分線,利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理即可用∠A來(lái)表示∠O;

3)先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù),即可求得∠A的度數(shù).

解:(1)如圖1,

BO平分∠ABCCO平分∠ACB,
∴∠OBC=ABC,∠OCB=ACB,
∴∠OBC+OCB =(ABC+ACB)

= (180°-BAC)

=(180°-60°)

=60°

∴∠O=180°-(OCB+OBC) =120°
如圖2,

BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,
∴∠OBC=ABC,∠OCD=ACD
∵∠ACD=ABC+A,
∴∠OCD=(∠ABC+A=ABC+A
∵∠OCD=OBC+O,
∴∠O=OCD-OBC=ABC+A-ABC=A=30°

如圖3

BO平分∠EBC,CO平分∠BCD
∴∠OBC=EBC,∠OCB=DCB,
∴∠OBC+OCB =(EBC+DCB)

= (A +ACB+DCB)

=(A +180°)

=(180°+60°)

=120°

∴∠O=180°-(OCB+OBC) =60°
如圖4,

ABC,ACB的三等分線交于點(diǎn)O1O2,
∴∠O2BC=ABC,∠O2CB=ACB,O1B平分∠O2BC,O1BC平分∠O2CB,
∴∠O2BC+O2CB = (ABC+ACB)O1O2平分∠BO2C,

= (180°-BAC)

= (180°-60°)

=80°

∴∠BO2C=180°-(O2CB+O2BC) =100°
∴∠BO2 O1= BO2C =50°

故答案是:120°,30°,60°,50° .

2OB平分ABC,OC平分ACB,

∴∠OBCABC,OCBACB,

O180°(∠OBCOCB)180°(∠ABCACB)

180°(180°A)

90°A.

3∵∠O2BO1=∠2∠1=20°

∴∠ABC=3∠O2BO1=60°,O1BCO2BO1=20°,

∴∠BCO2180°20°135°25° ,

∴∠ACB2∠BCO250°,

∴∠A=180°ABCACB=70° .

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拓廣探索:3)如圖3,點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn),,,垂足分別為,探究的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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