Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，M是邊BC的中點(diǎn)，BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)N滿足AM⊥AN．△ABC的內(nèi)切圓與邊AB、AC的切點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EF分別與AN、BC的延長(zhǎng)線交于P、Q，則=（ ）
A．1
B．0.5
C．2
D．1.5

Answer 1

【答案】分析：取△ACB的內(nèi)切圓的圓心是O，連接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根據(jù)∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根據(jù)三角形的無(wú)解外角性質(zhì)得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
解答：解：取△ACB的內(nèi)切圓的圓心是O，連接OE、OF，作NA的延長(zhǎng)線AG，
則OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M為斜邊BC上中線，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴=1，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角性質(zhì)、對(duì)頂角相等等，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．