Question

如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，∠BCA=90°，BC=3，AC=4．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）求⊙O的半徑；
（Ⅲ）求AF的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴△ABC的面積為：；

（Ⅱ）連接OE、OD，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，
∴EB=FB，CD=CE，AD=AF，
OE⊥BC，OD⊥AC，
又∵∠C=90°，OD=OE，
∴四邊形ECDO為正方形，
∴設(shè)OE=OD=CE=CD=x，
∴BE=3-x，DA=4-x；
∴FB=3-x，AF=4-x，
∴3-x+4-x=5，解得x=1．

（Ⅲ）∵CD=1，
∴AF=AD=4-1=3．
分析：（1）已知了直角三角形的兩條直角邊，可根據(jù)直角三角形的面積公式求出△ABC的面積．
（2）連接OE、OD，則OE、OD即為所求的半徑；易證得四邊形OECD是正方形，那么CE、CD都等于⊙O的半徑，可用⊙O的半徑分別表示出BE、AD的長，由切線長定理知BE=BF、AD=AF，即可由BF+AF=AB=5求出⊙O的半徑．
（3）求得⊙O的半徑后，即可求出AD的值，而AF=AD，由此得解．
點(diǎn)評：此題主要考查的是直角三角形的面積計算方法，以及直角三角形內(nèi)切圓半徑的計算方法，其中還用到了勾股定理、切線長定理等知識，難度適中．