Question

【題目】如圖，直線l：y＝x+2與直線l：y＝kx+b相交于點(diǎn)P（1，m）

（1）寫出k、b滿足的關(guān)系；

（2）如果直線l：y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸圍成一等腰直角三角形，試求直線l的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）k+b＝3；（2）y＝﹣x+4；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（4±3，0）或Q（﹣2，0）或（1，0）．

【解析】

（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝x+2并解得m＝3，得到點(diǎn)P（1，3）；將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝kx+b，即可求解；

（2）由y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸圍成一等腰直角三角形可求出直線的k值為﹣1，然后代入P點(diǎn)坐標(biāo)求出b即可；

（3）分AP＝AQ、AP＝PQ、PQ＝AQ三種情況，分別求解即可．

解：（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝x+2可得：m＝1+2＝3，故點(diǎn)P（1，3），

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝kx+b可得：k+b＝3；

（2）∵y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸圍成一等腰直角三角形，

∴設(shè)該直線的函數(shù)圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)（a，0），（0，a），其中a＞0，

將（a，0），（0，a），代入得：ak+b=0，b=a，

∴ak+a=0，即a(k+1)=0，

∴k＝﹣1，即y＝﹣x+b，

代入P（1，3）得：﹣1+b＝3，解得：b＝4，

∴直線l2的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；

（3）設(shè)點(diǎn)Q（m，0），而點(diǎn)A、P的坐標(biāo)分別為：（4，0）、（1，3），

∴AP＝，

當(dāng)AP＝AQ時(shí)，則點(diǎn)Q（4±3，0）；

當(dāng)AP＝PQ時(shí)，則點(diǎn)Q（﹣2，0）；

當(dāng)PQ＝AQ時(shí)，即（1﹣m）2+9＝（4﹣m）2，解得：m＝1，即點(diǎn)Q（1，0）；

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（4±3，0）或Q（﹣2，0）或（1，0）．