Question

如圖，P、Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長線上的兩點(diǎn)，AP與CQ相交于點(diǎn)E，且∠PAD=∠QAD，求證：
（1）∠BAP=∠AQE；
（2）S_△APQ=S_矩形ABCD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；
（2）利用“角邊角”證明△ADQ和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DQ=DE，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ABP和△QDA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出DQ，然后根據(jù)S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE列式整理即可得證．

解答：證明：（1）∵∠PAD+∠BAP=90°，∠QAD+∠AQE=90°，
∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE；

（2）在△ADQ和△ADE中，

∠PAD=∠QAD AD=AD ∠ADE=∠ADQ=90°

，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE，
∵∠BAP=∠AQE，∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABP∽△QDA，
∴

AB

DQ

=

PB

AD

，
∴DQ=

AB•AD

PB

，
∵S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE，
=

1

2

QE•BC+

1

2

QE•CP，
=

1

2

QE•PB，
=

1

2

×（2DQ）•PB，

1

2

×

2AB•AD

PB

•PB，
=AB•AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）把△APQ的面積分成兩個(gè)三角形的面積的和求解是解題的關(guān)鍵．