Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，點E、F分別是AC、BC上的動點，但始終保持AE=CF．
①求證：△DEF是等腰直角三角形．
②若AB=8

2

，點E在AC的什么位置時，△DEF的面積最��？并求出最小面積．

Answer 1

分析：（1）求出AD=BD，∠FAD=∠B，∠FDA=∠EDB，證出△FDA≌△EDB即可；
（2）根據(jù)垂線段最短作DE⊥AB于E，得出E為AB中點，此時△DEF的面積最小，求出DE的長即可．

解答：證明：∵AC=AB，AD⊥BD，∠CAB=90°，
∴AD⊥BC，∠FAD=∠DAB=∠B=∠C=45°，
∴∠ADB=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA=∠EDB=90°-∠ADE，
在△FDA和△EDB中，

∠FAD=∠B AD=BD ∠FDA=∠EDB

，
∴△FDA≌△EDB，
∴DF=DE，
∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）解：當點E在AB的中點上時，△DEF的面積最小，
理由是：∵∠FDE=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴△DEF的面積是

1

2

×DE×DF=

1

2

×DE×DE，
即要使△DEF得面積最小，只要DE的值最小即可，
根據(jù)垂線段最短，過D作DE⊥AB于E，
∵∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∵CD=BD，
∴AE=BE（即E為AB的中點），
∴DE=

1

2

AC=4，
∴△DEF的面積的最小值是

1

2

×4×4=8，
即當點E在AB的中點上時，△DEF的面積最小，△DEF的面積的最小值是8．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性比較強，有一定的難度．