Question

（2013•莆田質檢）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點E是AB上一點，以AE為直徑的⊙O過點D，且交AC于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若CD=6，AC=8，求AE．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據切線的判定推出即可；
（2）求出AD，連接DE，證△DCA∽△EDA，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD為半徑，
∴BC是⊙O切線；

（2）解：在Rt△ADC中，AC=8，CD=6，
由勾股定理得：AD=10．
連接DE，
∵AE為直徑，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠CAD=∠EAD，
∴△DCA∽△EDA，
∴

AE

AD

=

AD

AC

，
∴

AE

10

=

10

8

，
AE=12.5．

點評：本題考查了旗下的判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理等知識點的應用，主要考查學生的推理能力．