Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，把△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，連接AD、AE、CD、CE，如圖2．

（1）求證：△BDE∽△BAC．

（2）求△ABE面積最大時(shí)，△ADE的面積．

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D落在△ACE的邊所在直線上時(shí)，直接寫出CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）滿足條件的CE的值為或+1或﹣1．

【解析】

1)利用三角形的中位線定理即可解決問題．
當(dāng)時(shí)，的面積最大，根據(jù)求解即可．

分4種情形：如圖中，當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)D在線段CE上，分別求解即可．如圖中，當(dāng)點(diǎn)D在AE的延長線上時(shí)．如圖中，當(dāng)點(diǎn)D在CE的延長線上時(shí)，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

∵點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC．

（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．

當(dāng)EB⊥AB時(shí)，△ABE的面積最大，

S△ADE＝S△ABE﹣S△BDE﹣S△ADB＝.

（3）如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)D在AE上時(shí)，

∵∠ABC＝∠DBE＝45°，

∴∠ABD＝∠CBE，

，
∴△ABD∽△CBE，

∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∴EC＝．

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)D在線段CE上，

在Rt△BDC中，CD＝，

∴EC＝1+．

如圖3﹣3中，當(dāng)點(diǎn)D在AE的延長線上時(shí)，易證∠BEC＝90°，CE＝

如圖3﹣4中，當(dāng)點(diǎn)D在CE的延長線上時(shí)，

在Rt△BCD中，CD＝，，

∴EC＝﹣1

綜上所述，滿足條件的CE的值為或+1或﹣1．