Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2．點(diǎn)P，Q分別是BC，AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BQ，以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑的⊙P交線段BQ于點(diǎn)E，連結(jié)PD．

（1）若DQ＝且四邊形BPDQ是平行四邊形時(shí)，求出⊙P的弦BE的長(zhǎng)；

（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)四邊形BPDQ是菱形時(shí)，求出⊙P的弦BE的長(zhǎng)，并計(jì)算此時(shí)菱形與圓重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE＝；菱形與圓重疊部分的面積為．

【解析】

（1）作PT⊥BE于點(diǎn)T，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求BQ的值，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)菱形性質(zhì)和勾股定理求出菱形邊長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)Q重合，再根據(jù)扇形面積公式即可求解．

解：（1）如圖：

過點(diǎn)P作PT⊥BQ于點(diǎn)T，

∵AB＝2，AD＝BC＝2，DQ＝，

∴AQ＝，

在Rt△ABQ中，根據(jù)勾股定理可得：BQ＝．

又∵四邊形BPDQ是平行四邊形，

∴BP＝DQ＝，

∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，

∴△AQB∽△TBP，

∴

∴BT=，

∴BE＝2BT＝．

（2）設(shè)菱形BPDQ的邊長(zhǎng)為x，

則AQ＝2﹣x，

在Rt△ABQ中，根據(jù)勾股定理，得

AB2+AQ2＝BQ2，

即4+（2﹣x）2＝x2，

解得x＝.

∵四邊形BPDQ為菱形，∴BP=DP=,

又CP=BC-BP=,即DP=2CP,

∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，

∴連接PQ,易得△BPQ為等邊三角形，

∴PQ=BP,

∴點(diǎn)Q也在圓P上，圓P經(jīng)過點(diǎn)B,D,Q,如圖.

∴點(diǎn)E、Q重合，

∴BE＝.

∴菱形與圓重疊部分面積即為菱形的面積，

∴S菱形＝．