Question

9．已知拋物線L的解析式為y=ax²-11ax+24a（a＜0），如圖1拋物線L與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），拋物線L上另有一點A在第一象限內(nèi)，且∠BAC=90°．
（1）求點B、點C的坐標；
（2）連接OA，若OA=AC．
①求此時拋物線的解析式；
②如圖2，將拋物線L沿x軸翻折后得拋物線L′，點M為拋物線LA、C兩點之間一動點，且點M的橫坐標為m，過動點M作x軸的垂線h與拋物線L′交于點M′．設(shè)四邊形AMCM′的面積為S．試確定S與m之N的函數(shù)關(guān)系式，并求出當m為何值時．S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）通過解方程ax²-11ax+24a=0可得到B點和C點坐標；
（2）①作AD⊥BC于D，如圖1，先利用等腰三角形的性質(zhì)OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=4，則BD=1，再證明Rt△ABD∽Rt△CAD，利用相似比計算出AD，從而得到A（4，2），然后把A坐標代入y=ax²-11ax+24a中求出a的值，則可得到得拋物線解析式；
②作AD⊥BC于D，如圖2，設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{11}{2}$m-12），利用折疊的性質(zhì)可判斷M點和M′關(guān)于x軸對稱，設(shè)MM′交x軸于點E，則MM′=2ME=-m²+11m-24，根據(jù)三角形面積公式，利用S=S_△AMM′+S_△CMM′=$\frac{1}{2}$CD•MM′得到S=-2m²+22m-48，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 解：（1）當y=0時，ax²-11ax+24a=0，解得x₁=3，x₃=8，
而點B在點C的左側(cè)，
所以B（3，0），C（8，0）；
（2）①作AD⊥BC于D，如圖1，
∵AO=AC，
∴OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=4，
∴BD=OD-OB=4-3=1，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ACB=90°，
而∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴BD：AD=AD：CD，即1：AD=AD：4，解得AD=2，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y=ax²-11ax+24a得16a-44a+24a=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{11}{2}$x-12；
②作AD⊥BC于D，如圖2，設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{11}{2}$m-12），
∵拋物線L沿x軸翻折后得拋物線L′，且過點M作x軸的垂線h與拋物線L′交于點M′，
∴M點和M′關(guān)于x軸對稱，
MM′交x軸于點E，
∴MM′=2ME=-m²+11m-24，
∴S=S_△AMM′+S_△CMM′=$\frac{1}{2}$CD•MM′=$\frac{1}{2}$•4•（-m²+11m-24）=-2m²+22m-48=-2（m-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
當x=$\frac{11}{2}$時，S有最大值，最大值為$\frac{25}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)；理解坐標與圖形的性質(zhì)；會利用相似三角形的知識求線段的長．