Question

已知：如圖，以BC為邊在矩形ABCD內(nèi)作等邊三角形OBC，連接DO并延長交AB于點E，連接EC，過點C作CF∥DE，交AB的延長線于點F．
（1）求證：△ADE≌△BCF；
（2）若OC⊥DE，則四邊形DCFE是怎樣的特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）易證四邊形CDEF為平行四邊形，可得CF=DE，即可證明RT△ADE≌RT△BCF，即可解題；
（2）作OG⊥BC，易證G是BC中點，即可求得OG∥AB，可得DE=2DO，易求∠OCD=30°，根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)可得CD=2DO，即可求得CD=DE，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可解題．

解答：證明：（1）∵CF∥DE，CD∥AB，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∴CF=DE，
在RT△ADE和RT△BCF中，

AD=BC CF=DE

，
∴RT△ADE≌RT△BCF，（HL）；
（2）作OG⊥BC，

∵△OBC是等邊三角形，
∴G是BC中點，
∵AB⊥BC，OG⊥BC，
∴OG∥AB，
∴O是DE中點，即DE=2DO，
∵OC⊥DE，△OBC是等邊三角形，
∴∠OCD=30°，
∴CD=2DO，
∴CD=DE，
∴平行四邊形CDEF為菱形．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了菱形、平行四邊形的判定，考查了平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，本題中求證RT△ADE≌RT△BCF是解題的關(guān)鍵．