Question

【題目】如圖，AC是圓O的直徑，AB、AD是圓O的弦，且AB=AD，連結(jié)BC、DC．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）延長AB、DC交于點E，若EC=5cm，BC=3cm，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC是圓O的直徑，

∴∠ABC=∠D=90°，

在Rt△ABC與Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC

（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴CD=BC=3，AD=AB，

∴DE=5+3=8，

∵∠EAD=∠ECB，∠D=∠EBC=90°，

∴△EAD∽△ECB，

∴ ，

∵BE= =4，

∴ ，

∴AD=6，

∴四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=2× ×3×6=18cm2

【解析】（1）由AC是圓O的直徑，得到∠ABC=∠D=90°，根據(jù)直角三角形全等的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△ADC，得到CD=BC=3，AD=AB，DE=5+3=8，通過△EAD∽△ECB，得到比例式 ，求得AD=6，即可得到結(jié)果．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．