Question

正方形ABCD和正方形AEFG有一公共點A，點G．E分別在線段AD、AB上（如圖（1）所示），連接DF、BF．
（1）求證：DF=BF，
（2）若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，連接DG、BE（如圖（2）所示），在旋轉過程中，請猜想線段DG、BE始終有什么數(shù)量關系和位置關系并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的性質可證△DGF≌△BEF，即證DF=BF．
（2）由旋轉的性質和正方形的性質可證△DAG≌△BAE，得DG=BE，同時延長DG交BE或延長線于H，交AB于I，可證∠DHB=90°，即DG⊥BE．
解答：（1）證明：∵AD=AB，AG=AE=EF=FG，
∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
∴△DGF≌△BEF，
∴DF=BF．

（2）猜想：DG=BE，DG⊥BE．
證明：如圖，由正方形性質與旋轉知AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE，（6分）∠ADG=∠ABE，
延長DG交BE或延長線于H，交AB于I，
∵∠ADG=∠ABE，∠DIA=∠BIH，
又∵∠ADG+∠DIA=90°，
∴∠ABE+∠BIH=90°，
∴∠DHB=90°，
即DG⊥BE．
點評：本題考查了圖形的旋轉變化，以及正方形的性質和全等三角形的判定，是一道綜合性較強的題目．